失業手当について、ご教授願います。

来月、契約で働いていた会社を、期間満了（1年3ヶ月）のため、退社します。
自己都合の退職ではないので、失業保険がもらえるのは、10月からでしょうか？
また、キャリアアップのため、専門学校に通う予定ですが、
失業保険は就職活動をしなければもらえないのでしょうか？

基本的なことだとは思いますが、ご回答よろしくお願いいたします。

契約期間が終了の退職は、おそらく自己都合退職になるのでは？退職後すぐに手当が出るのは“会社都合の退職”です。
あなたが“会社都合の退職”に該当するのであれば、ハローワークに登録した日から約一ヶ月後から失業手当が支払われます。
専門学校の件は、確かに何も就職活動をしなければ手当は出ません。しかしハローワークが定義する“就職活動”とは、何も面接を受けたりばかりとは限りません。月に一度の認定日に出頭するのは当然ですが、その他は会社への資料請求や、ハローワーク内にある自己検索パソコンの使用でも“就職活動”と認められます。
…ただ、働いていた期間に応じて失業手当は支払われるので、１年３ヶ月という短い期間の場合は、２～３ヶ月ではないかと思います。

不安ならハローワークに聞くのが一番です。平日の昼間などは比較的空いていますので、電話で確認されてはいかがですか。

育休後の失業保険について
現在、育休中ですが、夫の転勤が今度の四月にありそうで復帰出来なくなるかもしれません。
この場合、復帰せずとも失業保険は貰えますか？
よろしくお願いします。

ご主人の転勤（来年４月）に伴い、育児休業中の質問者様の現職を退職。
その状態で失業保険を受けられるか？という質問だと判断して・・・。

育児【休業】ではなく、退職した時点で、
育児休業給付金も対象外になるのではないでしょうか？

育児休業中にご主人の転勤の都合での退職なら、質問者様の所属する会社都合ではなく、自己都合退職になりますよね？
もし、就職する意志があり、求職活動を行うとしても、失業保険の３か月給付制限は必要になると思います。
就職、求職活動がムリな場合は、失業保険の対象外になると思います。

失業保険について。３月で会社都合により退職します。失業保険を受給するには、年齢(３７)､勤務年数(８年)によって貰える日数などが違ってくると聞いたんですが、
詳しいかた教えて下さい。

１８０日ですね。
自己都合でも会社都合でも、退職前６ヶ月の賃金の合計を
１８０で割った額が、「離職時賃金日額」です。
これが１万円だとすると、雇用保険の基本手当ては、
５，７００円位になります。

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